Question

某公司決定給員工增加工資，提出了兩個方案，讓每位員工自由選擇其中一種.甲方案是：公司在每年年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元.某員工分別依兩種方案計算增資總額后得到下表：

工作年限	方案甲	方案乙	最終選擇
1	1000	600	方案甲
2	2000	1200	方案乙
≥3			方案甲

(說明：①方案的選擇應以讓自己獲得更多增資為準. ②假定員工工作年限均為整數.)
（1）他這樣計算增資總額，結果對嗎？如果讓你選擇，你會怎樣選擇增資方案？說明你的理由；
（2）若保持方案甲不變，而方案乙中每半年末的增資數改為a元，問：a為何值時，方案乙總比方案甲多增資？

Answer 1

（1）只工作一年選擇甲方案，工作兩年或兩年以上選擇乙方案；（2）當a＞時，方案乙總比方案甲多增資.

(1)設根據甲方案第n次的增資額為a_n，則a_n=1000n
第n年末的增資總額為T_n=500n(n＋1)
根據乙方案，第n次的增資額為b_n，則b_n=300n
第n年末的增資總額為S_2n=300n(2n＋1)
∴T₁=1000，S₂=900，T₁＞S₂只工作一年選擇甲方案T₂=3000，S₄=3000，T₂=S₄
當n≥3時，T_n＜S_2n，因此工作兩年或兩年以上選擇乙方案.
(2)要使T_n=500n(n＋1)，S_2n=an(2n＋1)
S_2n＞T_n對一切n∈N*都成立即a＞500·
可知{500}為遞減數列，當n=1時取到最大值.
則a＞500·= (元)，即當a＞時，方案乙總比方案甲多增資.