Question

設函數f(x)＝ln x－－ln a(x>0，a>0且為常數)．
(1)當k＝1時，判斷函數f(x)的單調性，并加以證明；
(2)當k＝0時，求證：f(x)>0對一切x>0恒成立；
(3)若k<0，且k為常數，求證：f(x)的極小值是一個與a無關的常數．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）見解析

解：(1)當k＝1時，
f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，
因為f′(x)＝－·x－－x－
＝－≤0，
所以函數f(x)在(0，＋∞)上是單調減函數．
(2)證明：當k＝0時，
f(x)＝ln x＋x－－ln a，故
f′(x)＝－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝.
當0<x<時，f′(x)<0，f(x)在上是單調減函數；
當x>時，f′(x)>0，f(x)在上是單調增函數．
所以當x＝時，f′(x)有極小值，
為f＝2－2ln 2.
因為e>2，所以f(x)的極小值，
為f＝2(1－ln 2)＝2ln>0.
所以當k＝0時，f(x)>0對一切x>0恒成立．
(3)證明：
f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，
所以f′(x)＝.
令f′(x₀)＝0，得kx₀－2＋a＝0.
所以＝
（舍去）.
所以x₀＝.
當0<x<x₀時，f′(x)<0，f(x)在(0，x₀)上是單調減函數；
當x>x₀時，f′(x)>0，f(x)在(x₀，＋∞)上是單調增函數．
因此，當x＝x₀時，f(x)有極小值f(x₀)．
又f(x₀)＝ln－k＋，
而＝是與a無關的常數，所以ln，－k，均與a無關．
所以f(x₀)是與a無關的常數．
故f(x)的極小值是一個與a無關的常數．