Question

已知二次函數，關于x的不等式的解集為，其中m為非零常數.設.

(1)求a的值；

(2)如何取值時，函數存在極值點，并求出極值點；

(3)若m=1，且x>0，求證：

 

Answer 1

（1）（2）當時，取任何實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分

(其中, )（3）見解析

【解析】（1）【解析】
∵關于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定義域為.

∴. ………3分

方程（*）的判別式

.………4分

①當時，，方程（*）的兩個實根為

………5分

則時，；時，.

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點. ………6分

②當時，由,得或，

若，則

故時，，

∴函數在上單調遞增.

∴函數沒有極值點.………7分

若時，

則時，；時，；時，.

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點，有極大值點. ………8分

綜上所述, 當時，取任意實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定義域為.

∴. ………3分

若函數存在極值點等價于函數有兩個不等的零點，且

至少有一個零點在上. ………4分

令,

得, (*)

則,(**)…………5分

方程（*）的兩個實根為, .

設,

①若,則,得,此時,取任意實數, (**)成立.

則時，；時，.

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點. ………6分

②若,則得

又由(**)解得或,

故.………7分

則時，；時，；時，.

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點，有極大值點. ………8分

綜上所述, 當時，取任何實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分

(其中, )

（3）∵， ∴.

∴

. ………10分

令，

則

.

∵，

∴…11分

12分

.………13分

∴，即. ……………14分

證法2：下面用數學歸納法證明不等式.

① 當時，左邊，右邊，不等式成立；

………10分

②假設當N時，不等式成立，即，

則

………11分

………12分

. ………13分

也就是說，當時，不等式也成立.

由①②可得，對N，都成立. …14分