Question

已知函數的導函數是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的極大值為，極小值為；（Ⅱ）的取值范圍是：；（Ⅲ）直線OM斜率的最小值為4；，證明詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）由已知，首先利用求出，再由得，從而得，其導函數，利用求函數極值的一般方法及一般步驟列表即可求得函數的極大值和極小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎上，分，兩種情形討論．①當時，由（I）知在上遞增，所以的最大值，問題轉化為；②當時，的最大值，由對任意的恒成立，等價于，進而可求得的取值范圍；（Ⅲ）由已知易得直線斜率，由于，易得直線斜率的最小值為4．當時，有，故，可以構造函數，利用導數證明在恒成立，從而證得．
試題解析：（I）依題意，，解得，                    1分
由已知可設，因為，所以，則，導函數．                                 3分
列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

由上表可知在處取得極大值為，在處取得極小值為．                                       5分
（Ⅱ）①當時，由（I）知在上遞增，所以的最大值，    6分
由對任意的恒成立，得，則，因為，所以，則，因此的取值范圍是．            8分
②當時，因為，所以的最大值，由對任意的恒成立，得， ∴，因為，所以，因此的取值范圍是．
綜上①②可知，的取值范圍是．                          10分
（Ⅲ）當時，直線斜率，因為，所以，則，即直線斜率的最小值為4．            11分
首先，由，得.
其次，當時，有，所以，                12分
證明如下：記，則，所以在遞增，又，則在恒成立，即，所以 .              14分．