Question

已知函數(shù)為奇函數(shù)，f（1）＜f（3），且不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在實數(shù)m使不等式對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），構(gòu)造方程可得b值，由不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]，根據(jù)±2均為不等式的解，可得c值，根據(jù)f（1）＜f（3），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，及不等式解集的端點是對應(yīng)方程的根，求出a值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題后，構(gòu)造關(guān)于m的不等式，可得答案．
解答：解：（1）∵，
∴．…（1分）
不等式的解集中包含2和-2，
∴f（2）≥0，f（-2）=-f（2）≥0，
即得，所以c=-4…（2分）
∵，
∴．…（3分）
當a＞0時，在（0，+∞）上是增函數(shù)
在（0，+∞）內(nèi)任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么
即…（5分）．
綜上所述：…（6分）
（2）∵，
∴在（-∞，0）上也是增函數(shù)．…（7分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，
∴，
而，
所以，m為任意實數(shù)時，不等式…（12分）
點評：本題是函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題及不等式方程函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式難度比較大，也是解答本題的關(guān)鍵．