Question

定義函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)記為_．

(1)求證：f_n(x)≥nx；

(2)設(shè)，求證：0＜x₀＜1；

(3)是否存在區(qū)間使函數(shù)h(x)＝f₃(x)－f₂(x)在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵，令 　　則 　　當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 　　∴在上遞減，在上遞增 　　故在處取得極(最)小值 　　∴，即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))　　　　4分; 　　(2)由，得 　　∴，，易知，　　　　6分 　　而 　　由(1)知當(dāng)時(shí)，，故 　　∴，∴　　　　　　　　　　　9分; 　　(3) 　　 　　 　　令，得或， 　　∴當(dāng)時(shí)，； 　　當(dāng)時(shí)，； 　　當(dāng)時(shí)，， 　　故的圖象如圖所示． 　　下面考查直線與的相交問題 　　由圖可知直線與存在交點(diǎn)，且滿足在區(qū)間上的值域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0584/0021/781413c580a3566b26a3335c32936b0c/C/Image177.gif" width=58 height=21> 　　∵在上，為圖象的極小值點(diǎn) 　　∴過作直線與的圖象交于另一點(diǎn)，當(dāng)直線繞原點(diǎn)順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)時(shí)，滿足條件的取最小值，即的最小值為，相應(yīng)區(qū)間為．　　　　　　　　　　　　　　　14分