Question

如圖，在矩形中，，是的中點，以為折痕將向上折起，使到點位置，且.

（Ⅰ）若是的中點，求證：面；

（Ⅱ）求證：面面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取中點，連接GF，GC，

由四邊形AECG為平行四邊形，

在中，GF//AP，

推出平面APE//平面FGC ；

又所以，CF//面APE.

（Ⅱ）取AE中點O，連接PO,得到

取BC的中點H，連OH，PH，得到

由推出, ,  可得

所以，.

（Ⅲ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點，連接GF，GC，

四邊形AECG為平行四邊形，

在中，GF//AP，

又，

所以平面APE//平面FGC   

又所以，CF//面APE.                  4分

（Ⅱ）取AE中點O，連接PO,則

取BC的中點H，連OH，PH，

因為所以,從而,  

又BC與AE相交，可得

所以，.                           9分

（Ⅲ） .          13分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，體積的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離及體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。折疊問題，要注意折疊前后幾何量的“變與不變”。本題（3）體積計算中運用了“等體積法”，化難為易。