Question

（本題滿分12分）
已知函數 （為非零常數,是自然對數的底數）,曲線在點處的切線與軸平行．
（1）判斷的單調性；
（2）若, 求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）在上是減函數．（Ⅱ）當時,的最大值為。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1），由題意知,解得或（舍）
所以，，設，則
于是在區間內為增函數;在內為減函數
（2） 
得 ，構造函數對于參數a討論得到結論。
解：（Ⅰ） ，
由題意知,解得或（舍）;---2分
所以，
設，則
于是在區間內為增函數;在內為減函數．
所以在處取得極大值，且
所以,故所以在上是減函數．----4分
（Ⅱ）--6分
得 
①當時,在上單調遞增
，所以．此時．----7分
②當時,在上單調遞增
，所以．此時最大值．----9分
③當時,
所以當時, 
 ，令
設; 則 
 
當時, ，-----11分
綜上當時,的最大值為---12分