Question

設函數(shù).
（1）當時，證明：函數(shù)不是奇函數(shù)；
（2）設函數(shù)是奇函數(shù)，求與的值；
（3）在（2）條件下，判斷并證明函數(shù)的單調性，并求不等式的解集.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）當時，，函數(shù)的定義域為，要證明函數(shù)不是奇函數(shù)，從奇函數(shù)的定義出發(fā)，可考慮選一個特殊值，滿足，若最簡單；（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，則有對函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個，都滿足，由此等式恒成立可得關于的等式求出，也可先用特殊數(shù)值求出，再進行檢驗；（3）先判斷函數(shù)的單調性，再用定義法或導數(shù)法證明，再解不等式，解不等式時可直接求解，也可利用函數(shù)單調性求解.
試題解析：（1）當時，
由，知函數(shù)不是奇函數(shù).
（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，
即對定義域內(nèi)任意實數(shù)都成立，化簡整理得
對定義域內(nèi)任意實數(shù)都成立
所以，所以或
經(jīng)檢驗符合題意.
（3）由（2）可知
易判斷為R上的減函數(shù)，證明如下：
因為，所以為R上的減函數(shù)；
由，不等式即為，由在R上的減函數(shù)可得，
所以不等式的解集為.
另解：由得，即，解得，所以.
（注：若沒有證明的單調性，直接解不等式，正確的給3分）
考點：函數(shù)的的單調性和奇偶性.