Question

設函數.
（1）研究函數的極值點；
（2）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數的取值范圍是；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出函數的導數，對的符號進行分類討論，即對函數是否存在極值點進行分類討論，結合函數的單調性或導數符號確定函數的極大值或極小值；（2）利用（1）中的結論，將問題轉化為，結合（1）中的結論列不等式解參數的取值范圍；（3）在（2）中，令，得到不等式在上恒成立，然后令得到，兩邊同除以得到
，結合放縮法得到，最后；利用累加法即可得到所證明的不等式.
試題解析：（1），
 
當 上無極值點 
當p>0時，令的變化情況如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	極大值	↘

從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點 
（2）當時在處取得極大值，
此極大值也是最大值，要使恒成立，只需，
∴，即p的取值范圍為[1，+∞；
（3）令，由（2）知，
∴，∴，
∴ 

,∴結論成立
另解：設函數，則，令，解得，則，
∴