Question

已知函數，，
（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；
（Ⅱ）設函數,當存在最小值時，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時， .

Answer 1

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e²)(II) （Ⅲ）利用函數的單調性證明

解析試題分析：（Ⅰ）=,=(x>0),
由已知得 解得a=，x=e²,
∴兩條曲線交點的坐標為(e²,e) 切線的斜率為k=f’(e²)=
∴切線的方程為 y－e= (x－e²)
(II)由條件知h(x)=–aln x(x＞0),
（i）當a>0時，令解得，
∴當0 << 時，，在（0，）上遞減；
當x>時，，在上遞增.
∴是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.
∴最小值
（ii）當時，在（0，+∞）上遞增，無最小值。
故的最小值的解析式為
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
則，令解得.
當時，，∴在上遞增；
當時，，∴在上遞減.
∴在處取得最大值
∵在上有且只有一個極值點，所以也是的最大值.
∴當時，總有
考點：本題考查了導數的運用
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點