Question

定義域為的函數，其導函數為．若對，均有，則稱函數為上的夢想函數．
（Ⅰ）已知函數，試判斷是否為其定義域上的夢想函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知函數（，）為其定義域上的夢想函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數（，）為其定義域上的夢想函數，求的最大整數值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）的取值范圍是；（Ⅲ）的最大整數值為．

試題分析：（Ⅰ）根據題中“夢想函數”的定義判斷函數是否為“夢想函數”；（Ⅱ）根據“夢想函數”的定義結合參數分離法將問題轉化型的恒成立問題，等價轉化為去處理，但需定義域的開閉對參數的取值范圍的影響；（Ⅲ）根據“夢想函數”的定義結合參數分離法轉化為恒成立問題處理，在轉化的過程中，若兩邊同時除以，注意對的取值符號分正負以及進行討論，從而得出參數的取值范圍，進而確定的最大整數值.
試題解析：（Ⅰ）函數不是其定義域上的夢想函數．      1分
理由如下：
定義域，，      2分
存在，使，故函數不是其定義域上的夢想函數．  4分
（Ⅱ），，若函數在上為夢想函數，
則在上恒成立，      5分
即在上恒成立，
因為在內的值域為，      7分
所以．      8分
（Ⅲ），由題意在恒成立，
故，即在上恒成立．
①當時，顯然成立；     9分
②當時，由可得對任意恒成立.
令，則， 10分
令，
則．
當時，因為，所以在單調遞減；
當時，因為，所以在單調遞增．
∵，，
∴當時，的值均為負數.
∵，，
∴當時，
有且只有一個零點，且.       11分
∴當時，，所以，可得在單調遞減；
當時，，所以，可得在單調遞增．
則．    12分
因為，所以，
．    13分
∵在單調遞增，，，
∴，
所以，即．
又因為，所以的最大整數值為．    14分