Question

已知函數是偶函數
（1）求k的值；
（2）若函數的圖象與直線沒有交點，求b的取值范圍；
（3）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍

Answer 1

（1）；（2） ；(3)

解析試題分析：（1）因為函數是偶函數，所以根據偶函數的定義，得到一個關于x,k的等式.由于對于任意的x都成立，相當于恒過定點的問題，所以求得k的值.
（2）因為函數的圖象與直線沒有交點，所以對應的方程沒有解，利用分離變量的思維可得到一個等式，該方程無解.所以等價兩個函數與沒有交點，所以求出函數的最值.即可得到b的取值范圍.
(3)因為，若函數與的圖象有且只有一個公共點，所以等價于方程有且只有一個實數根.通過換元將原方程化為含參的二次方程的形式，即等價于該二次方程僅有一個大于零的實根，通過討論即可得到結論.
試題解析：（1）因為為偶函數，所以，
即對于任意恒成立.
于是恒成立,
而不恒為零，所以.                     4分
（2）由題意知方程即方程無解.
令，則函數的圖象與直線無交點.
因為，由，則，
所以的取值范圍是 .                     8分
（3）由題意知方程有且只有一個實數根．
令，則關于的方程 (記為(*))有且只有一個正根.
若，則，不合題意, 舍去；
若，則方程(*)的兩根異號或有兩相等正根.
由或；但，不合題意，舍去；而；
若方程(*)的兩根異號
綜上所述，實數的取值范圍是．               12分
考點：1.函數的奇偶性.2.函數的與方程的思想的轉化.3.換元法的應用.4.含參數的方程的根的討論.