Question

已知函數（為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數的值；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ）時，單調遞增區間為；時，單調遞減區間為，
單調遞增區間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導數分析函數的單調性，根據和分類討論得出函數的單調區間；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調性可知，即，構造函數，由導函數分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，從而問題等價轉化為證.
試題解析：（Ⅰ）                          1分
時，，在上單調遞增。                     2分
時，時，，單調遞減，
時，，單調遞增.            4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），時，
                          5分
即，記 
 
在上增，在上遞減

故，得                        8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），即，則時，
要證原不等式成立，只需證：，即證：
下證   ①                                     9分



①中令，各式相加，得

成立，                          
故原不等式成立.                                                 14分
方法二：時，
時，

時，