已知函數
的圖像過坐標原點
，且在點
處的切線斜率為
.
（1）求實數
的值；
（2） 求函數
在區間
上的最小值；
（Ⅲ）若函數
的圖像上存在兩點
，使得對于任意給定的正實數
都滿足
是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在
軸上，求點
的橫坐標的取值范圍.
（1）
；（2）
；（Ⅲ）點的橫坐標的取值范圍為
．
解析試題分析：（1）求實數的值求導數，根據函數在點處的切線的斜率是，由導數的幾何意義，及當
時，
，對函數求導數得，
，依題意
，可求出
，又因為圖象過坐標原點，則
，即可求得實數
的值；（2）求函數在區間上的最小值，當時，
，對函數求導函數
，令
，解出
的值，確定函數的單調性，計算導數等零點與端點的函數值，從而可得函數在區間上的最小值；（Ⅲ）設
，因為
中點在軸上，所以
，根據
，可得
，分類討論，確定函數的解析式，利用，即可求得結論．
試題解析：（1）當時，，
依題意，
又
故 3分
（2）當時，
令
有
，故在
單調遞減；在
單調遞增；
在
單調遞減．又
,
所以當
時，
6分
（Ⅲ）設，因為中點在軸上，所以
又
①
（ⅰ）當
時，
，當
時，
．故①不成立 7分
（ⅱ）當
時，
代人①得：
，
無解 8分
（ⅲ）當
時，
代人①得：
②
設
，則
是增函數.
的值域是
導學與測試系列答案
新非凡教輔沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
x3＋
x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)若函數f(x)在區間(－2,0)內恰有兩個零點，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝－aln x＋
＋x(a≠0)，
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數a的值；
(2)討論函數f(x)的單調性．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬
為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為
，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（Ⅲ）現在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，f '（x）為f（x）的導函數，若f '（x）是偶函數且f '（1）=0.
⑴求函數
的解析式；
⑵若對于區間
上任意兩個自變量的值
，都有
，求實數
的最小值；
⑶若過點
，可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍．
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是曲線
的一條切線，
.
的值；
時，存在
，求實數
的取值范圍.
，函數
．
時，求
在
內的極大值；
，當
有兩個極值點
時，總有
，求實數
的值.（其中
是
的導函數．）
函數.
單調遞增區間；
時，求函數
．
在區間
上單調遞減；
對任意的
都成立，（其中
是自然對數的底數），求實數
的最大值．