Question

若函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）設(shè).
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②若函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1e/3/tnl6b.png" style="vertical-align:middle;" />，求函數(shù)的最小值.

Answer 1

（1）；（2）①單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，②

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，先求導(dǎo)，再求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即所求切線的斜率，就可寫出直線的點(diǎn)斜式方程；（2）①分類討論去掉絕對(duì)值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，在不同取值范圍內(nèi)，分別求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，②由函數(shù)的定義域去判斷的取值范圍，再結(jié)合①的結(jié)果，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類討論，分別求出各種情況下的最小值，即得.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，  2分
又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處的切線方程；   4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/5/1g4re2.png" style="vertical-align:middle;" />，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)； 7分
當(dāng)時(shí)，，令，得，
令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為;10分
②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/4/1tbv54.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1e/3/tnl6b.png" style="vertical-align:middle;" />,以或11分（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，
所以在區(qū)間上的最小值為；            13分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為，所以在區(qū)間上的最小值為；14分
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，所以在區(qū)間上的最小值為.
綜上所述，                        16分
考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.