Question

已知函數f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1) f（x）=f（e）=e－e－1.
(2) 滿足條件的a的取值范圍是（－，1）

解析試題分析：
考點：解：（Ⅰ）若a=1 ，則f（x）=x|x－1|－lnx.
當x∈[1，e]時，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，
所以f（x）在[1，e]上單調遞增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.             4分
（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（0，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.      *
（i）當x∈（0，1）時，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，
所以a∈R；                                                      5分
（ii）當x=1時，|1－a|≥0，=0，所以a1；                      6分
（iii）當x>1時，不等式*恒成立等價于a<x－恒成立或a>x+恒成立.
令h（x）=x－，則h′（x）=.
因為x>1，所以h′（x）>0，從而h（x）>1.
因為a<x－恒成立等價于a<（h(x)），所以a≤1.
令g（x）=x+，則g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，則e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上無最大值.               11分
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（－，1）.                  12分
考點：導數的運用
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，運用導數判定函數單調性以及函數的最值，屬于基礎題。