已知橢圓
經過點
，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一正方形.
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓
交于
，
兩點，若線段
的垂直平分線經過點
，求
（
為原點）面積的最大值.
（1）
(2) 面積的最大值為
.
解析試題分析：（1）由已知得
，再根據橢圓經過點，代入橢圓方程即可.
(2)設
當直線的斜率為
時,可得
，由
，得到
；
當直線的斜率不為時，將的方程為
與橢圓方程聯立，
整理得
，
由
, 得到
應用韋達定理
，
，化簡得到
代入，得到
；
通過確定原點到直線的距離為
，
得到
求其最值.
試題解析：（1）∵橢圓
的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成正方形，∴， ∴
， 2分
又∵橢圓經過點，代入可得
，
∴故所求橢圓方程為 4分
(2)設因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，
當直線的斜率為時,則的垂直平分線為
軸，此時
所以，因為，所以
所以
，當且僅當
時，
取得最大值為， 7分
當直線的斜率不為時，則設的方程為
所以
，代入得到 8分
當, 即
方程有兩個不同的解又， 10分
所以
，又
，化簡得到
代入，得到
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，拋物線關于
軸對稱，它的頂點在坐標原點，點
、
、
均在拋物線上.
（1）寫出該拋物線的方程及其準線方程；
（2）當
與
的斜率存在且傾斜角互補時，求
的值及直線
的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓C0：
＝1(a>b>0，a、b為常數)，動圓C1：x2＋y2＝
，b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A、B、C、D四點．
(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
(2)設動圓C2：x2＋y2＝
與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，1)，P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且
＝λ
，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓C的方程為
＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個頂點．
(1)設P是橢圓C上任意一點，若
＝m
＋n
，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，等邊三角形OAB的邊長為8
，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知過曲線
上任意一點
作直線
的垂線，垂足為
,且
.
⑴求曲線的方程；
⑵設
、
是曲線上兩個不同點，直線
和
的傾斜角分別為
和
，當
變化且
為定值
時，證明直線
恒過定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的右焦點F
，左、右準線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分別與直線y＝x相交于A、B兩點．
(1)若離心率為
，求橢圓的方程；
(2)當
·
<7時，求橢圓離心率的取值范圍．
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的離心率是
，它被直線
截得的弦長是
，求橢圓的方程．