Question

已知函數．
（1）討論函數的奇偶性；
（2）若函數在上為減函數，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，是奇函數；當時，是偶函數；當時，是非奇非偶函數，（2）.

解析試題分析：（1）研究函數奇偶性，首先研究定義域，，在定義域前提下，研究相等或相反關系. 若，則，，，若，，，,（2）利用函數單調性定義研究函數單調性. 因函數在上為減函數，故對任意的，都有，即恒成立，恒成立，因為，所以.
解：（1）   （1分）
若為偶函數，則對任意的，都有，
即，，對任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即 ∴當時，是偶函數。   （4分）
若為奇函數，則對任意的，都有，
即，對任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即∴當時，是奇函數。（6分）
∴當時，是奇函數；當時，是偶函數；當時，是非奇非偶函數。   （7分）
（2）因函數在上為減函數，故對任意的，都有，   （2分）
即恒成立。（4分）
由，知恒成立，即恒成立。
由于當時   （6分）
∴   （7分）
考點：函數奇偶性與單調性