Question

（14分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．
（I）求與的值；
（II）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點．若是的切線，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：，根據拋物線定義
點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得       （2分）
拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得            （4分）
（Ⅱ）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為
則，當  則          （5分）
聯立方程，整理得：
即：，解得或                          （6分）
，而，直線斜率為 
，                                    （7分）
聯立方程
整理得：，即：．
，解得：，或
，                                （9分）
                   （10分）
而拋物線在點N處切線斜率：        （11分）
MN是拋物線的切線，，
整理得                                          （12分）
，解得（舍去），或，    （14分）

略