Question

已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）設，證明：當時，；
（3）若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，證明：（x₀）＜0．（本題滿分14分）

Answer 1

（1）若單調增加.
若，單調增加，在單調減少. 
（2）見解析。

解析試題分析：解：（1）…………………………………………1分
 …………………………2分
（i）若單調增加.…………………3分
（ii）若
且當
所以單調增加，在單調減少. ……………………5分
（2）設函數則

…………………………………7分
當時，，所以單調遞增，
故當，  ……………………………9分
（3）由（I）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為
不妨設
由（II）得
從而
由（I）知，  …………………………………………………14分
考點：本題考查利用導數求函數的單調性、綜合分析和解決問題的能力以及分類討論的思想方法。
點評：解答本題易出現以下失誤：①忘記求函數的定義域；②想不到分類討論，從而在判斷函數的單調性時出現錯誤。當求函數的單調性時，如果無法判斷導函數的符號，自然而然的就應該想到分類討論，為了避免錯誤的發生，在平常做題時就要養成分析思路的習慣。