Question

設函數(其中).

(Ⅰ)當時,求函數的單調區間；

(Ⅱ)當時,求函數在上的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數的遞減區間為,遞增區間為,.

(Ⅱ)函數在上的最大值.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過“求導數、求駐點、討論導數的正負、確定函數的單調區間”，本題利用“表解法”，直觀，易于理解.

(Ⅱ)求函數的最值，通過“求導數、求駐點、討論導數的正負、確定函數的極值、比較區間端點函數值”等步驟，不斷地構造函數加以轉化，是解答本題的關鍵.

試題解析：

(Ⅰ)當時,

,

令,得,                                   2分

當變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

右表可知,函數的遞減區間為,遞增區間為,.

                                                                          6分

(Ⅱ),

令,得,,                                         7分

令,則,所以在上遞增,

所以,從而,所以

所以當時,；當時,；

所以                    10分

令,則,

令,則

所以在上遞減,而

所以存在使得,且當時,,       12分

當時,,

所以在上單調遞增,在上單調遞減.

因為,,

所以在上恒成立,當且僅當時取得“”.

綜上,函數在上的最大值.                   14分

考點：應用導數研究函數的單調性、極值、最值