Question

設函數(其中).

(1) 當時,求函數的單調區間和極值；

(2) 當時，函數在上有且只有一個零點．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的遞減區間為遞增區間為極大值為，極小值為；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）先求，解方程，得可能的極值點，列表可得函數的單調區間和極值；（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數在上有且只有一個零點．分和利用函數的單調性證明函數在上有且只有一個零點．

試題解析：（1）當時，，．

令，得，．

當變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

由表可知，函數的遞減區間為遞增區間為極大值為，極小值為．                                  6分

（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數在上有且只有一個零點．

①若，則當時，在上單調遞增．

在上有且只有一個零點．

②若，則在上單減，上單增．

令則．在上單增，在上單增，，在上有且只有一個零點．

綜上，在上有且只有一個零點．                          13分

考點：1、利用導數求函數的單調區間和極值；2、利用導數討論函數的零點．