已知
．
(1) 求函數
在
上的最小值；
(2) 對一切
，
恒成立，求實數a的取值范圍；
(3) 證明：對一切，都有
成立．
（1）
（2）
（3）構造函數，利用導數證明
解析試題分析：(1)由題意知
，
當
，
，單調遞減，
當
，
，單調遞增．
① 
，t無解；
② 
，即
時，
；
③ 
，即
時，在
上單調遞增，
；
所以． ……4分
(2) 
，則
，
設
，則
，
，
，
單調遞減，
，
，單調遞增，
所以
．
因為對一切，
恒成立，所以
． ……9分
（3）問題等價于證明
，
由⑴可知
的最小值是
，當且僅當
時取到．
設
，則
，
易得
，當且僅當
時取到，
從而對一切，都有成立． ……14分
考點：本小題主要考查利用導數求最值，恒成立問題和構造函數證明不等式.
點評：恒成立問題一般轉化為最值解決，而證明不等式時，一般會構造新函數，利用導數研究函數的單調性，最值等，進而證明不等式.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，當
時函數
取得一個極值，其中
．
（Ⅰ）求
與
的關系式；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）當
時，函數
的圖象上任意一點的切線的斜率恒大于
，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f (x)的定義域為M，具有性質P：對任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
（1）若M為實數集R，是否存在函數f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性質P，并說明理由；
（2）若M為自然數集N，并滿足對任意x∈M，都有f (x)∈N. 記d(x)＝f (x＋1)－f (x).
(ⅰ) 求證：對任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
(ⅱ) 求證：存在整數0≤c≤d(1)及無窮多個正整數n，滿足d(n)＝c.
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滿足
(
+2)=
的兩實根的平方和為10，
的圖象過點(0,3)，
在
上的值域。
的最大值．
上的函數
是減函數，且是奇函數，若
，求實數
的范圍。
的單調區間；
且
時，
恒成立，求實數
的范圍.
．
，（a¹0,a、bÎR）恒成立，求實數x的范圍．