Question

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有為常數(shù)，且．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得．…………………1分

當(dāng)時(shí)，．即．………2分

又為常數(shù)，且，∴．           ………………………3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．      　……………………4分

（2）解：由（1）得，，．    ………………………5分

∵，∴，即． ………7分

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列． ………………………………………8分

∴，即（）． ………………………9分

（3）解：由（2）知，則．

所以，                      ………………10分

即，      ① ……11分

則，    ②………12分

②－①得，       ……………………13分

故．   ………………14分

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)．當(dāng)出現(xiàn)等比數(shù)列和等差數(shù)列相乘的形式時(shí)，求和可用錯(cuò)位相減法．

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)an=Sn-Sn-1，進(jìn)而得出an和an-1的關(guān)系整理得a_na_n-1 =m( 1+m) ，因m為常數(shù)，進(jìn)而可證明當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列．，當(dāng)n=1時(shí)等式也成立，原式得證．

（2）根據(jù)（1）可得f（m）的解析式．再根據(jù)bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 b_n-1） =1進(jìn)而推知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2a1，公差為1，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案．

（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹ b_n }，再通過(guò)錯(cuò)位相減法求得Tn