Question

設為數列的前項和，對任意的，都有(為正常數)．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）數列滿足求數列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用求出與的關系，判斷數列是等差數列，從而寫出等差數列的通項公式；（2）因為，所以可以證明是首項為，公差為1的等差數列，先求出的通項公式，再求；（3）把第（2）問的代入，利用錯位相減法求.

試題解析：（1）證明：當時，，解得．     1分

當時，．即．    2分

又為常數，且，∴．

∴數列是首項為1，公比為的等比數列．               3分

（2）解：．          4分

∵，∴，即．    5分

∴是首項為，公差為1的等差數列．         6分

∴，即．    7分

（3）解：由（2）知，則                                                           

所以             8分

當為偶數時，

令                  ①

則   ②

①-②得   

=

==

                                10分

令                 ③

   ④

③-④得

= 

==

                                           11分

                                                                  12分

當為奇數時， 為偶數,

=

                             14分

法二：           ① 

 ②

                                                                       9分

 ①-②得：                                              

                                                                          10分                                    

=                         12分

=

          13分

∴                                            14分

考點：1.等差數列的判定；2.錯位相減法求和；3.分類討論思想.