Question

（理）已知橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)，直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta）（t＞0）交橢圓于M．直線MO交橢圓于N．
（1）用a，t表示△AMN的面積S；
（2）若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）易得l的方程為y=

t

2

(x+a)，由

y= t 2 (x+a) x2 a2 +y2=1

，得（a²t²+4）y²-4aty=0，由此能夠用用a，t表示△AMN的面積．
（2）由（1）得，S=

4a2t

4+a2t2

=

4a2

4 t +a2t

(t＞0)，令V=

4

t

+a2t，V′=-

4

t2

+a2    由V′=0⇒t=

2

a

．由此能夠求出S的最大值．

解答：解：（理）（1）∵直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta），
∴l的方程為y=

t

2

(x+a)，
由

y= t 2 (x+a) x2 a2 +y2=1

，
得（a²t²+4）y²-4aty=0
解得y=0或y=

4at

a2t2+4

即點M的縱坐標yM=

4at

a2t2+4

S=S_△AMN=2S_△AOM=|OA|•y_M=

4a2t

4+a2t2

（2）由（1）得，S=

4a2t

4+a2t2

=

4a2

4 t +a2t

(t＞0)
令V=

4

t

+a2t，V′=-

4

t2

+a2    
由V′=0⇒t=

2

a

當t＞

2

a

時，V′＞0；當0＜t＜

2

a

時，V′＜0
若1≤a≤2，
則

2

a

∈[1，2)，
故當t=

2

a

時，S_max=a
若a＞2，則0＜

2

a

＜1．
∵V=

4

t

+a2t在[1，2]上遞增，進而S（t）為減函數．
∴當t=1時，Smax=

4a2

4+a2

綜上可得Smax=

a(1≤a≤2) 4a2 4+a2 (a＞2)

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查導數的性質和應用．綜合性強，難度大，是高考的重點．具有一定的探索性，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．