Question

（本小題滿分12分）
設函數f(x)的定義域為R，若|f(x)|≤|x|對任意的實數x均成立，則稱函數f(x)為函數。
（1）試判斷函數= =中哪些是函數，并說明理由；
（2）求證：若a>1，則函數f(x)=ln(x²+a)-lna是函數。

Answer 1

（1）不是函數；（2）在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，則函數f(x) 是函數.

（1）∵|xsinx|≤|x|,∴f₁(x)=xsinx是函數；
∵，∴不滿足|f(0)|≤|0|,
∴不是函數；………………………………4分
（2）設F(x)=f(x)-x,則F′(x)= 
①當x>0時，∵a>1,
∴
當x=0時，F′(x)=-1<0
∴當x≥0時，F′(x)=<0.
∴F(x)在上是減函數………………………………8分
∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0,
∴F(x)=f(x)-x≤0
∵x>0時f′(x)=
∴函數f(x)在上是增函數，∴f(x)≥f(0)=0
∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x|
②當x<0時，-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,顯然f(x)為偶函數
∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x|
∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，則函數f(x) 是函數. ………12分