Question

設(shè)函數(shù) 
（1）證明 當(dāng)，時(shí)，；
（2）討論在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2） 時(shí)有唯一零點(diǎn) ，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有唯一零點(diǎn)， 時(shí)無(wú)零點(diǎn).

解析試題分析：（1）構(gòu)造新函數(shù)后證明>0恒成立即可；（2）當(dāng)時(shí)通過(guò)單調(diào)性可知零點(diǎn)只有一個(gè)，當(dāng)時(shí)通過(guò)的最大值與0的比較即可判斷零點(diǎn)情況.
試題解析：(1),令 ，
 ，令 ，則令 ，令 ， .
令 得 .當(dāng) 時(shí) 單調(diào)遞增， 時(shí) 單調(diào)遞減，
又 ， ，∴在上恒小于零.即當(dāng)時(shí) 單調(diào)遞減.
又 ，∴當(dāng)時(shí)，>0恒成立，即.
(2) .
1°當(dāng) 時(shí)， 恒成立,即 單調(diào)遞增，此時(shí) ， ，此時(shí)的零點(diǎn)在 上.
2°當(dāng) 時(shí)， ， .
∴在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，∴ 為的最大值點(diǎn).
令 可得 即當(dāng)時(shí)有唯一零點(diǎn)；
當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn) ， ；
當(dāng) 時(shí)， ，∴在 上無(wú)零點(diǎn).
綜上所述， 時(shí)有唯一零點(diǎn) ，
時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
時(shí)有唯一零點(diǎn)，
 時(shí)無(wú)零點(diǎn).
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)證明不等式；2.函數(shù)的零點(diǎn)；3函數(shù)的單調(diào)性和最值.