Question

設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)）
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

①②見(jiàn)題解析

解析試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類(lèi)討論二次函數(shù)的零點(diǎn)情況,確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值區(qū)間,進(jìn)一步確定原函數(shù)的單調(diào)性. （Ⅱ）先把原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,由于我們只能運(yùn)用求導(dǎo)的方法來(lái)研究這個(gè)函數(shù)的值域,而此函數(shù)由于求導(dǎo)后不能繼續(xù)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間,故利用均值不等式進(jìn)行放縮, 后,函數(shù)可以通過(guò)求導(dǎo)研究值域,且 恒成立是恒成立的充分條件,注意需要二次求導(dǎo).
試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/8/p3kbc.png" style="vertical-align:middle;" />， ，
（1）當(dāng)時(shí)，解得或；解得
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)時(shí)，解得或；解得
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ……（6分）
（Ⅱ）證明:不等式等價(jià)于
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/76/7/kuzsx.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以 ，
因此    
令， 則
令得：當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，從而. 即，
在上單調(diào)遞減，得:，
 當(dāng)時(shí)，.. ……（12分）
考點(diǎn)：1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法;2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;3.均值不等式;4.放縮法.