Question

（本小題滿分12分）已知函數（a∈R且）．
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）若函數y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意t∈[1，2]，函數在區間(t，3)上總不是單調函數，求m的取值范圍.

Answer 1

(1) 當a＞0時，的單調增區間為（0,1），單調減區間為（1，＋∞）
當a＜0時，的單調增區間為（1，＋∞），單調減區間為（0,1）
(2)

解析試題分析：解：(本小題滿分12分)
（1）＝．　∵x＞0， ………………………1分
當a＞0時，的單調增區間為（0,1），單調減區間為（1，＋∞）……………2分
當a＜0時，的單調增區間為（1，＋∞），單調減區間為（0,1）．……………4分
（2）∵函數y＝在點（2，處的切線斜率為1，
∴，　解得a＝－2．………………………………5分
∴，　　∴．
∴．……………………………7分
令，即，　　∵△＝，
∴方程有兩個實根且兩根一正一負，即有且只有一個正根．…………8分
∵函數在區間（t，3）（其中t∈[1，2]）上總不是單調函數，
∴方程在上有且只有一個實數根．………………………9分
又∵，∴，．
∴，且．…………………………………………10分
∵，∴，
令，則，即在上單調遞減．
∴，即．
∴．
綜上可得，m的取值范圍為．…………………………………12分
考點：本試題考查了導數的運用
點評：解決該試題的關鍵是能理解對于導數的符號，運用分類討論的思想來求解函數的單調性。同時對于函數不單調的處理，可以轉換為函數單調時的參數的范圍，然后利用補集的思想求解結論，屬于中檔題。