Question

已知函數(shù)，其中N*，aR，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)若對(duì)任意N*，均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間(1，4)內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；
(3)已知k，mN*，k<m，且函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)： 
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)： 
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：
 
（2）的取值范圍是 
（3）函數(shù)在上是減函數(shù).

解析試題分析：（1）整理得，
故只需討論的判別式取值情況，確定函數(shù)的零點(diǎn).
（2）由于
所以重點(diǎn)討論，的圖像是開(kāi)口向下的拋物線.
由題意對(duì)任意,即，討論求解.
（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù).
試題解析：（1），
設(shè),
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)：         1分
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：     2分
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：     3分
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：
                4分
（2）  5分
設(shè)，的圖像是開(kāi)口向下的拋物線.
由題意對(duì)任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
且
則對(duì)任意,即,                     7分
又任意關(guān)于遞增,,
故
所以的取值范圍是                       9分
（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),          10分
從而即   11分
所以
由知                    13分
即對(duì)任意