Question

已知函數f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R，a＜0）的最大值為正實數，集合A={x|

x-a

x

＜0}，集合B={x|x²＜b²}．
（1）求A和B；
（2）定義A與B的差集：A-B={x|x∈A且x∉B}．設a，b，x均為整數，且x∈A．P（E）為x取自A-B的概率，P（F）為x取自A∩B的概率，寫出a與b的二組值，使P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．
（3）若函數f（t）中，a，b是（2）中a較大的一組，試寫出f（t）在區間[n-

2

8

，n]上的最大值函數g（n）的表達式．

Answer 1

分析：（1）先函數f（t）進行配方，根據函數f（t）的最大值為正實數可確定b的范圍，然后分別求出集合A和集合B即可；
（2）要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．分為二種情形，第一種A中有3個元素，A-B中有2個元素，A∩B中有1個元素，求出a，b即可，第二種，A中有6個元素，A-B中有4個元素，A∩B中有2個元素，可求出a，b的值．
（3）根據（2）先求出函數f（t）的解析式，討論對稱軸與區間[n-

2

8

，n]的位置關系，然后分別求出函數的最大值，最后用分段函數表示即可．

解答：解：（1）∵f(t)=at2-

b

t+

1

4a

(t∈R)，
配方得f(t)=a(t-

b

2a

)2+

1-b

4b

，
由a＜0得最大值

1-b

4a

＞0⇒b＞1．（3分）
∴A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}．（6分）
（2）要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以使①A中有3個元素，
A-B中有2個元素，A∩B中有1個元素．則a=-4，b=2．（9分）
②A中有6個元素，A-B中有4個元素，A∩B中有2個元素．則A=-7，B=3（12分）
（3）由（2）知f(t)=-4t2-

2

t-

1

16

(t∈[n-

2

8

，n])（13分）

g（n）=

-4n2- 2 n- 1 16 ，n＜- 2 8 1 16    - 2 8 ≤n≤ 0 -4n2+ 1 16    n＞0

（18分）

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及分段函數和古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題．