Question

已知函數。
(1)求函數的定義域；
(2)判斷奇偶性；
(3)判斷單調性；
(4)作出其圖象，并依據圖象寫出其值域．

Answer 1

解：（1）函數的定義域為R；
（2）∵，
∴f(x)是奇函數，其圖象關于原點O對稱。
（3）單調性：設x₁、x₂∈(0，+∞)且x₁＜x₂，
則，
當0＜x₁＜x₂≤1時，可知f(x₁)-f(x₂)＜0，
∴f(x)在(0，1]上是增函數，
當1＜x₁＜x₂時，f(x₁)-f(x₂)＞0，
∴f(x)在(1，+∞)上是減函數，
由于f(x)是奇函數，且f(0)=0，
因此，f(x)的減區間為(-∞，-1]、[1，+∞)，增區間為[-1，1]，并且當x→+∞時，f(x)→0，圖象與x軸無限接近．
（4）其圖象如下圖所示，
，
可見其值域為[-1，1]．