Question

已知，函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)有兩個極值點（設(shè)為和）時，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號，實質(zhì)上就是確定分子的正負，從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即對分子的的符號進行分類討論，從而確定的符號情況，進而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）根據(jù)、與之間的關(guān)系，結(jié)合韋達定理得出以及的表達式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，利用作差法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)圍繞來證明.
試題解析：（1），
，考慮分子
當(dāng)，即時，在上，恒成立，此時在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，方程有兩個解不相等的實數(shù)根：，，顯然，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
（2）、是的兩個極值點，故滿足方程，
即、是的兩個解，，

而在中，，
因此，要證明，
等價于證明，
注意到，只需證明，即證，
令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
因此，從而，即，原不等式得證.
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.分類討論；3.分析法；4.構(gòu)造新函數(shù)證明函數(shù)不等式