Question

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

Answer 1

(I)  (II)

解析試題分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a²=b²+c²，解出a即可.
(II)設A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得到關于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x₁+x₂，x₁x₂的表達式，然后分以O或A或B為直角頂點，根據向量垂直的坐標表示的充要條件列出關于k的方程，求解即可.
試題解析：(Ⅰ)  ，所以橢圓方程為 
(Ⅱ)由已知直線AB的斜率存在,設AB的方程為: 
由   得 
,得:,即 
設,  
(1)若為直角頂點,則 ,即 ,
,所以上式可整理得,
,解,得,滿足 
(2)若為直角頂點,不妨設以為直角頂點,,則滿足:
,解得,代入橢圓方程,整理得, 
解得,,滿足 
時,三角形為直角三角形  
考點：1.橢圓方程及其性質；2.直線與橢圓的相交的條件；3.向量垂直的充要條件.