Question

給出下列四個函數：
①y=x+

1

x

(x≠0)②y=3^x+3^-x③y=

x2+2

+

1

x2+2

④y=sinx+

1

sinx

，x∈(0，

π

2

)
其中最小值為2的函數是

②

．

Answer 1

分析：①函數y=x+

1

x

(x≠0)為奇函數，只有極小值，無最小值；②根據3^x＞0，3^-x＞0，可得y=3^x+3^-x≥2，所以函數由最小值2；③設

x2+2

=t，，則y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上單調增，所以函數的最小值為

5

2

；④設sinx=t，y=t+

1

t

在（0，1）上單調減，函數無最小值．故可得答案．

解答：解：①函數y=x+

1

x

(x≠0)為奇函數，只有極小值，無最小值；
②∵3^x＞0，3^-x＞0，∴y=3^x+3^-x≥2，∴函數由最小值2；
③設

x2+2

=t，∵

x2+2

≥ 2，t≥2，∴y=

x2+2

+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上單調增，∴函數的最小值為

5

2

；
④設sinx=t，∵x∈(0，

π

2

)，∴0＜t＜1，∴y=t+

1

t

在（0，1）上單調減，∴函數無最小值．
故答案為：②

點評：本題以函數為載體，考查函數的最值，考查基本不等式的運用，同時考查了函數的單調性，應注意基本不等式的使用條件．