Question

已知，函數，.
（1）求函數的單調區間；
（2）求證：對于任意的，都有.

Answer 1

（1）單調遞增區間為,單調遞減區間為,；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先對求導，利用單調遞增，單調遞減，通過解不等式，求出函數的單調區間；第二問，由于對于任意的，都有 對于任意的，都有，利用導數判斷函數在上的單調性，數形結合求出的最小值和的最大值，進行比較，看是否符合.
（1）函數的定義域為,，
因為，
所以，當，或時，；
當時，．
所以，的單調遞增區間為,單調遞減區間為,．        6分
（2）因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
又，，
所以，當時，．
由，可得．
所以當時，函數在區間上是增函數，
所以，當時，．
所以，當時，
對于任意的，都有，，所以．
當時，函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，
所以，當時，．
所以，當時，
對于任意的，都有，，所以．
綜上，對于任意的，都有．      13分