Question

（1）在伸縮變換下圓x²+y²=1變為曲線C．求曲線C的方程，并指出曲線的類型；當曲線C的動點M到直線L：距離的最大值時，求點M的坐標．
（2）設函數f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
①作出函數f（x）的圖象；
②若不等式f（x）≥5的解集為（-∞，-2]∪[3，+∞），求a值．

Answer 1

解：（1）由得代入x²+y²=1
即曲線C：．
該曲線是橢圓．其參數方程為：（θ為參數）
設橢圓C上動點M
到直線L：的距離為
=．
當時，曲線C的動點M到直線L的距離最大，此時…（7分）

（2）①f（x）=|x+1|+|x-a|=，
函數f（x）如圖所示．
②由題設知：|x+1|+|x-a|≥5，
如圖，在同一坐標系中作出函數y=5的圖象
（如圖所示）
又解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）．
由題設知，當x=-2或3時，f（x）=5
且a+1＜5即a＜4，
由f（-2）=-2（-2）-1+a=5得：a=2．
分析：（1）利用伸縮變換求出曲線C的方程，根據ρsinθ=y，ρcosθ=x，把極坐標方程化為普通方程得到直線l的方程，設出曲線C參數方程一點坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用兩角和的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據余弦函數的值域即可求出d的最大值．
（2）①根據題意，化簡絕對值可得，函數f（x）=|x+1|+|x-a|=，進而做出其圖象．
②由題設知：|x+1|+|x-a|≥5，在同一坐標系中作出函數y=5的圖象，當x=-2或3時，f（x）=5，且a+1＜5即a＜4，由f（-2）=5 求得 a 的值．
點評：本題考查伸縮變換、簡單曲線的極坐標方程、絕對值不等式的解法，函數圖象的特征，體現了數形結合的數學思想，第（2）小題畫出函數f（x）的圖象，是解題的關鍵．