Question

(14分)設函數

（1）當時，求的最大值；

（2）令，以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，方程有唯一實數解，求正數的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的最大值為； (2)  ；（3） .                                                 

【解析】第一問利用當時，

解得或（舍去）  當時，，單調增加，

當時，，單調減少得到最值

第二問中，

由恒成立得恒成立    

因為，等號當且僅當時成立      

所以

第三問中，時，方程即

設，解

得(<0舍去)，

在單調增加，在單調減少，最大值為

因為有唯一實數解，有唯一零點，所以

最后求解得到。

解：（1）當時，   ……1分

解得或（舍去）               ……2分

當時，，單調增加，

當時，，單調減少                ……3分

  所以的最大值為                              ……4分

(2)  ……6分

由恒成立得恒成立       ……7分

因為，等號當且僅當時成立          ……8分

所以                                                 ……9分

（3）時，方程即

設，解

得(<0舍去)，

在單調增加，在單調減少，最大值為    ……11分

 因為有唯一實數解，有唯一零點，所以  ……12分

由得，

因為單調遞增，且，所以         ……13分

從而                                                     ……14分