已知數列
的前
項和為
，若
，
⑴證明數列為等差數列，并求其通項公式；
⑵令
，①當為何正整數值時，
：②若對一切正整數，總有
，求
的取值范圍.
(1)證明詳見解析，
；（2）①
，②
.
解析試題分析：（1）關于和
的遞推式，一般有兩種方法可解決，1：轉化為項的遞推式，根據遞推式 直接求通項公式，2：轉化為的遞推關系，先求，再求通項公式，該題已知數列前n項和和的遞推關系，由
可的與
的關系，然后由等差數列定義證明，知道等差數列后再求通項公式；
（2）①將
代入不等式，解不等式可得，②恒成立問題往往可以采取參變分離的方法，
或
的形式，最后轉化為求函數
最值，即
或
,該題可轉化為求
的最大值問題,求的最大值可以結合函數的函數或者單調性處理，但是注意定義域
.
試題解析：（1）令
，
，即
，由
∵，∴
，
即數列是以2為首項，2為公差的等差數列， ∴
（2）①
，即
②∵
，又∵時，
∴各項中數值最大為
，∵對一切正整數，總有恒成立，因此.
考點：1、等差數列的定義和通項公式；2、恒成立問題.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
觀察下列三角形數表，假設第n行的第二個數為an(n≥2，n∈N*)．
(1)依次寫出第六行的所有6個數；
(2)歸納出an＋1與an的關系式并求出{an}的通項公式．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知{an}是等差數列，a1=3，Sn是其前n項和，在各項均為正數的等比數列{bn}中，b1=1,且b2＋S2=10，S5 =5b3＋3a2.
(I )求數列{an}, {bn}的通項公式；
(II)設
，數列{cn}的前n項和為Tn,求證
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
是等差數列，且
，
；又若
是各項為正數的等比數列，且滿足
，其前
項和為
，
.
(1)分別求數列，的通項公式
，
；
(2)設數列
的前項和為
，求的表達式，并求的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對于任意的
（
不超過數列的項數），若數列的前項和等于該數列的前項之積，則稱該數列為
型數列。
（1）若數列
是首項
的型數列，求
的值；
（2）證明：任何項數不小于3的遞增的正整數列都不是型數列；
（3）若數列
是型數列，且
試求
與
的遞推關系，并證明
對恒成立。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的各項均為正數，
為其前
項和，對于任意的
，滿足關系式
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列
的通項公式是
，前
項和為
，求證：對于任意的正整數，總有
.
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的前
項和為
，滿足：
．遞增的等比數列
前
項和為
，滿足：
．
對
，均有
成立，求
．
的前
項和
，滿足：
.
；
的滿足
，
為數列
的前
.
是首項
的等比數列，其前
項和
中，
、
、
成等差數列．
，求數列{
}的前
；
的最大正整數