Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)若在上的最大值為，求實數(shù)的值；

(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得，

令，得或．

當變化時，及的變化如下表：

		-		+		-
		↘	極小值	↗	極大值	↘

由，，，

即最大值為，．                          4分

（Ⅱ）由，得．

，且等號不能同時取，，即 

恒成立，即．                     6分

令，求導得，，

當時，，從而，

在上為增函數(shù)，，．          8分

（Ⅲ）由條件，，

假設曲線上存在兩點，滿足題意，則， 只能在軸兩側(cè)，

不妨設，則，且．

是以為直角頂點的直角三角形，，

    ，

是否存在，等價于方程在且時是否有解．            10分

①若時，方程為，化簡得，此方程無解；

②若時，方程為，即，

設，則，

顯然，當時，，

即在上為增函數(shù)，

的值域為，即，當時，方程總有解．

對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．    14分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值。

點評：難題，在給定區(qū)間，導數(shù)非負，函數(shù)為增函數(shù)，導數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)加以解決。本題（III）需要分類討論，易于出錯，是叫男的一道題目。