Question

已知一個直角三角形三個內角的正弦值成等比數列，則其中最小內角的正弦值是

-1+ 5

2

．

Answer 1

分析：設A、B為銳角，且A＜B，C為直角，則sinC=1，sinB=cosA，由直角三角形三個內角的正弦值成等比數列，知sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，設sinA=m，得m²+m-1=0，由此能求出最小內角的正弦值．

解答：解：不妨設A、B為銳角，且A＜B，C為直角，
則sinC=sin90°=1，sinB=cosA，
∵直角三角形三個內角的正弦值成等比數列，
∴

sinA

sinB

=

sinB

sinC

，
∴sinA=sin²B=cos²A=1-sin²A，
設sinA=m，
則m=1-m²，
m²+m-1=0，
∴m=

5 -1

2

，或m=

- 5 -1

2

（舍）．
所以最小內角的正弦值是

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點評：本題考查三角函數與數列的綜合運用，求直角三角形中最小角的正弦值．解題時要認真審題，注意等比數列的性質和應用，注意三角函數恒等式的靈活運用．