Question

設直角三角形的兩條直角邊的長分別為，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有
①，                                   ②，                
③，                                   ④.
其中正確結論的序號是      ；進一步類比得到的一般結論是       .

Answer 1

②④

由a+b＜c+h成立，我們可以類比給出a³+b³＜c³+h³；a⁴+b⁴＜c⁴+h⁴；a⁵+b⁵＜c⁵+h^5等，再逐一分析它們的真假，再根據其中的規律，歸納猜想出一般性的結論．
解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA．
于是aⁿ+bⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），cⁿ+hⁿ=cⁿ（1+sinⁿAcosⁿA）．aⁿ+bⁿ-cⁿ-hⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA-1-sinⁿAcosⁿA）=cⁿ（sinⁿA-1）（1-cosⁿA）＜0．
所以aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）．
故正確答案是②④；結論是aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）。