Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積成反比.現有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）？________________.

Answer 1

解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數,則y=,其中k＞0為比例系數,依題意,即所求的a、b值使y值最小.根據題設,有4b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0）得b=（0＜a＜30）,于是y==.

∵y′==0時,a=6或a=-10（舍去）由于本題只有一個極值點,故當a=6此時b=3時為所求,即當a為6米,b為3米時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.

解法二：依題意,即所求的a、b值使ab最大.由題設知4b+2ab+2a=60,（a＞0,b＞0）,即a+2b+ab=30（a＞0,b＞0）.∵a+2b≥2,∴2·+ab≤30.當且僅當a=2b時上式取等號.由a＞0,b＞0,解得?0＜ab≤18?.即當a=2b時,ab取得最大值,其最大為18,由2b²=18解得b=3,此時a=6.故當a為6米,b為3米時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.

答案：a=6米,b=3米