Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的最大值；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值．

Answer 1

 （1），取得最大值12；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）這是一個(gè)已知數(shù)列前的和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的問題，解題思路非常明顯，就是利用，本題的易錯(cuò)點(diǎn)就是不進(jìn)行分類討論，丟掉了的情況，求的最大值既可由的表達(dá)式入手，配方即可，也可從數(shù)列的單調(diào)性變化放手，求出最大值；（2）易知是一個(gè)等比數(shù)列，所以就是等差乘等比型數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和；（3）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)可用裂項(xiàng)相消法求出其前項(xiàng)的和為，再求出其最小值，根據(jù)不等式恒成立易求出結(jié)果.
試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù) 的圖象上．
所以，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以．
又，且
所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值12．
（2）由題意知
所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為
所以，
相減得，
所以．
（3）由（1）得
所以
易知在上單調(diào)遞增，所以的最小值為
不等式對(duì)一切都成立，則，即．
所以最大正整數(shù)的值為18．
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法.