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（本題滿分12分）
把邊長為的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為，容積為.

（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

（Ⅰ），定義域為。（Ⅱ）容器高為時，容器的容積最大為.

解析試題分析：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為    ----2分.
則   .            ---------4分
函數(shù)的定義域為.         --------- 5分
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區(qū)間內，-----------6分
令，即令，解得.
因為在區(qū)間內，可能是極值點. 當時，；
當時，.            ------------8分
因此是極大值點，且在區(qū)間內，是唯一的極值點，
所以是的最大值點，并且最大值   
即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.----------12分
考點：函數(shù)模型的實際應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值。
點評：本題主要考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，其中解答本題的關鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高，進而求出函數(shù)的解析式，建立數(shù)學模型．求解析式的時候，要記得求函數(shù)的定義域。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) （為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)
（I）求的值；
（II）求的取值范圍；
（III）若在上恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
已知函數(shù)f (x)＝－ax3＋x2＋(a－1)x－ (x＞0)，(aÎR)．
(Ⅰ)當0＜a＜時，討論f (x)的單調性；
(Ⅱ)若f (x)在區(qū)間(a, a＋1)上不具有單調性，求正實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)定義域為，且.
設點是函數(shù)圖像上的任意一點，過點分別作直線和軸的垂線，垂足分別為．

（1）寫出的單調遞減區(qū)間（不必證明）；（4分）
（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；（7分）
（3）設為坐標原點，求四邊形面積的最小值.（7分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且在處取得極值.
（1）求的值；
（2）若當時，恒成立，求的取值范圍；
（3）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（11分）已知函數(shù)f(x)=x2+2ax-3:
(1)如果f(a+1)-f(a)=9,求a的值；  （2）問a為何值時，函數(shù)的最小值是-4。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）設（其中是的導函數(shù)），求的最大值；
（Ⅱ）求證: 當時，有；
（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，求使成立的的取值范圍。（10分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知函數(shù)，.
（1）用定義證明：不論為何實數(shù)在上為增函數(shù)；
（2）若為奇函數(shù)，求的值；
（3）在（2）的條件下，求在區(qū)間[1，5]上的最小值.

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