Question

（2009•河東區二模）已知一個正四棱錐的底面是一個棱長為1的正方體的某個面，且這個正四棱錐與正方體有相同的全面積，則這個正四棱錐的側棱與底面所成角的余弦值為

13

13

．

Answer 1

分析：由題意可得買這個正四棱錐的全面積為6，設這個正四棱錐的斜高為h，則1+4×（

1

2

×1×h）=6，解得h的值，可得側棱長為PC=

h2+( 1 2 )2

的值．再根據側棱與底面所成角的余弦值為 cosθ=

OC

PC

，運算求得結果．

解答：解：由題意可得買這個正四棱錐的全面積為6，如圖所示，PO⊥平面ABCD．
設這個正四棱錐的斜高為h，則1+4×（

1

2

×1×h）=6，解得 h=

5

2

，
∴側棱長為PC=

h2+( 1 2 )2

=

26

2

，
這個正四棱錐 的側棱與底面所成角的余弦值為 cosθ=

OC

PC

=

2 2

26 2

=

13

13

，
故答案為

13

13

．

點評：本題主要考查直線和平面所成的角的定義和求法，直角三角形中的邊角關系，屬于中檔題．