Question

如圖，頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過A₀(1，1)，過A₀作拋物線的切線交x軸于B₁，過B₁點作x軸的垂線交拋物線于A₁，過A₁作拋物線的切線交x軸于B₂，……，過A_n(x_n，y_n)作拋物線的切線交x軸于
B_n+1(x_n+1，0)，
(1)求{x_n}，{y_n}的通項公式；
(2)設，數列{a_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＞2n-；
(3)設b_n=1-log₂y_n，若對任意正整數n，不等式成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由已知得拋物線方程為y=x²，y′=2x，
則設過點A_n(x_n，y_n)的切線方程為，
令y=0，，故，
又x₀=1，
∴。
(2)由(1)知，
所以

，
由得，
所以，
從而

，
即；
(3)由于，故b_n=2n+1，
對任意正整數n，不等式成立，
即恒成立，
設，
∴，
∴
，
∴f(n+1)＞f(n)，故f(n)遞增，
∴，
∴。