Question

設函數，若在點處的切線斜率為．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，
（ⅰ）求實數的取值范圍；
（ⅱ）對任意的，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：(Ⅰ) 利用導數的幾何意義“曲線在某點處的導數值等于該點處切線的斜率”來求；(Ⅱ)利用導數研究單調性，進而求最值.
試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 
（Ⅱ）恒成立．
（ⅰ）恒成立，即．  
方法一：恒成立，則．
當時，
,
則，，單調遞增，
當，， 單調遞減，
則，符合題意，即恒成立．
所以，實數的取值范圍為．    
方法二：，
①當時，，，，單調遞減，當，， 單調遞增，則，不符題意；
②當時，
，
（1）若，，，，單調遞減；當，， 單調遞增，則，不符題意；
（2）若，
若，，，，單調遞減，
這時，不符題意；
若，，，，單調遞減，這時，不符題意；
若，，，，單調遞增；當，， 單調遞減，則，符合題意；
綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．
方法三：易證

∵，∴，
當，即時，，即恒成立；
當